﻿Родился в 1907 году в деревне Грачёвка  (Воловский район Тульской области). Призван в ряды Красной Армиии Запорожским РВК.
С июня 1941 года старший лейтенант Ф. С. Чуйкин на фронтах Великой Отечественной войны. Был командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи 27-го истребительного авиационного полка. В составе 6-го истребительного авиационного корпуса ПВО защищал небо Москвы.
В июле 1942 года 27-й ИАП ПВО был выведен из оперативного подчинения командования ПВО территории страны и вошёл в состав 287-й ИАД. После короткого пребывания в резерве Ставки Верховного Главнокомандования убыл на Брянский фронт, где в составе 287-й ИАД принял участие в оборонительных боях на Воронежском направлении. В задачу лётчиков входило сопровождение своих бомбардировщиков и прикрытие боевых порядков наземных войск. В воздушных боях полк менее чем за 20 дней потерял 10 своих самолётов, сбив 17 машин противника.
В конце июля 1942 года, из-за тяжёлых потерь, 27-й ИАП был отведён в тыл для доукомплектования личным составом и перевооружения на новую технику. На станции Сейма Горьковской области в августе 1942 года в состав части влились наиболее подготовленные лётчики и технический состав из расформированного 292-го ИАП. На вооружение поступили истребители Ла-5.
После ускоренного переучивания полк убыл на Сталинградский фронт и с 18 августа 1942 года участвовал в боевых действиях в составе 287-й ИАД. Под Сталинградом задачами полка, стали перехват бомбардировщиков противника на дальних подступах к Сталинграду, прикрытие наземных частей и переправ, а также разведка аэродромов и расположения войск противника. В воздушных боях лётчикам 27-го ИАП было засчитано 60 сбитых самолётов противника. В результате боевых действий полком было потеряно 14 самолётов.
11 сентября 1942 года командир эскадрильи 27-го ИАП майор Ф. С. Чуйкин погиб в воздушном бою. К тому времени он считался лучшим асом полка, одержав 11 личных и 6 групповых побед. Похоронен на хуторе Бурковский, в 12 км восточнее Сталинграда.
Награждён орденами: Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени.