﻿Родился 25 октября (7 ноября) 1914 года в слободе Стрелецкая (ныне — в черте города Старый Оскол Белгородской области). Детство и юность провёл в городе Воронеж. В 1932 году окончил 7 классов школы, в 1933 году — 1 курс Воронежского коммунально-строительного техникума.
В армии с августа 1933 года. В 1936 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС (в Киевском военном округе).
Участвовал в освобождении Западной Белоруссии в сентябре 1939 года, совершил 2 боевых вылета на бомбардировщике СБ.
Участник советско-финляндской войны: в январе-марте 1940 — старший лётчик 48-го скоростного бомбардировочного авиационного полка. Совершил 36 боевых вылетов на бомбардировщике СБ. Был награждён орденом Красного Знамени.
Участник Великой Отечественной войны: в июне-июле 1941 — командир звена 225-го скоростного бомбардировочного авиационного полка, в сентябре-октябре 1941 — заместитель командира авиаэскадрильи 506-го бомбардировочного авиационного полка, в декабре 1941 — январь 1943 — заместитель командира и командир авиаэскадрильи 30-го бомбардировочного авиационного полка, в январе 1943 — сентябре 1944 — командир авиаэскадрильи 779-го бомбардировочного авиационного полка.
Воевал на Юго-Западном, Сталинградском, Центральном и 1-й Белорусском фронтах. Участвовал в оборонительных боях на Украине, в Харьковской наступательной операции 1942 года, Сталинградской и Курской битвах, освобождении Белоруссии.
За время Великой Отечественной войны совершил 190 боевых вылетов, из них 3 боевых вылета — на бомбардировщике СБ и 187 боевых вылетов — на бомбардировщике Пе-2.
За мужество и героизм, проявленные в боях, капитану Анпилову Анатолию Андреевичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
C сентября 1944 года обучался в Военно-воздушной академии (Монино), которую окончил в 1948 году. В 1948—1949 годах — командир учебно-тренировочного авиационного полка в 3-м учебно-тренировочном авиационном центре ВВС (город Воронеж). С января 1949 года — командир 244-го бомбардировочного авиационного полка (в Московском военном округе). Полк под его командованием первым в советских ВВС перешёл на реактивные бомбардировщики Ил-28. В 1952—1953 годах — заместитель командира 56-й бомбардировочной авиационной дивизии (в Московском военном округе).